Grado 10 colegio santa rosa de Cali TEMAS: trigonometria, Plano cartesiano, teorema del cseno forma interativa, propabilidad con graficas y ejemplos, funcion trigonometrica, 5 ejercicios de identidades trigonometricas,

ORIGEN DE LA TRIGONOMETRÍA
La agrimensura y la navegación son prácticas que, desde sus orígenes, han requerido el cálculo de distancias cuya medición directa no resultaba posible; y otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía. Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma la visual dirigida a un accidente geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida según la horizontal), acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras.
ÁNGULOS
Asociada tradicionalmente a un capítulo tan importante de la actividad humana como es el de la observación astronómica, la noción de ángulo es básica en geometría (y obviamente en trigonometría). Su aparente sencillez no ha de ocultar el hecho de que el tratamiento de los ángulos como magnitudes susceptibles de ser medidas encierra una considerable complejidad; en efecto, un sistema de medición de los ángulos que permita compararlos eficazmente con otras magnitudes geométricas, como la longitud o la superficie, requiere tratarlos como magnitudes lineales, lo que sólo se consigue adecuadamente asociándolos a arcos de circunferencia. Pero el cálculo de la longitud de la circunferencia hace intervenir una magnitud irracional, el número pi; esto implica que cuestiones aparentemente sencillas, como por ejemplo la división de un ángulo cualquiera en tres partes iguales, no puedan resolverse fácilmente mediante una construcción geométrica que se sirva exclusivamente de la regla y el compás.
Dados tres puntos distintos, M, N y R, consideremos las dos semirrectas NM y NR del plano que contiene a los tres puntos; dichas semirrectas poseen un origen común N y dividen al plano en dos regiones, cada una de las cuales se denomina ángulo. Las semirrectas son los lados del ángulo y su origen común es el vértice.
A continuación estudiaremos un poco sólo los ángulos que contienen los triángulos.

Agudos

Son aquellos ángulos que miden más de 0º pero menos de 90º. Son característicos de los triángulos acutángulos.

Rectos

Son aquellos ángulos que miden 90º. Son característicos de los triángulos rectángulos.

Obtusos

Son aquellos ángulos que miden más de 90º pero menos de 180º. Son característicos de los triángulos obtusángulos.

TRIÁNGULOS

El triángulo es el polígono más simple y también el más fundamental, ya que cualquier polígono puede resolverse en triángulos; por ejemplo, trazando todas las diagonales a partir de un vértice, o más en general, uniendo todos los vértices con un mismo punto interior al polígono. Por otra parte, un tipo particular de triángulos, los triángulos rectángulos, se caracterizan por satisfacer una relación métrica (el llamado teorema de Pitágoras) que es la base de nuestro concepto de medida de las dimensiones espaciales.

CLASIFICACIÓN POR LADOS

Isósceles

Se llama triángulo isósceles al que tiene dos lados iguales; el tercer lado se llama base. Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales; recíprocamente, si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados opuestos a dichos ángulos también serán iguales.

Equilátero

Se llama triángulo equilátero al que tiene los tres lados iguales. Como un triángulo equilátero es isósceles para cualquier par de lados, resulta que los tres ángulos de un triángulo equilátero son iguales; recíprocamente, si los tres ángulos de un triángulo son iguales, el triángulo es equilátero. Cabe mencionar que al triángulo que tiene los tres ángulos iguales se le llama, como se acaba de mencionar, triángulo equilátero, pero también es llamado equiángulo.

Escaleno

Cuando un triángulo tiene sus tres lados distintos entre sí se llama escaleno.

CLASIFICACIÓN POR ÁNGULOS

Acutángulo

Un triángulo que tiene sus tres ángulos agudos (mayor que 0º pero menor que 90º) se llama acutángulo.

Rectángulo

Cuando uno de los ángulos es recto (igual a 90º), se llama rectángulo.

Obtusángulo

Cuando uno de los ángulos es obtuso (mayor que 90º pero menor que 180º), el triángulo se llama obtusángulo.

PLANO CARTESIANO

El primer paso que vamos a realizar antes de entrar de lleno en el análisis del término plano cartesiano es proceder a establecer el origen etimológico de las dos palabras que dan forma al mismo. Así, el vocablo plano podemos determinar que emana del latín y más exactamente del término planus que puede definirse como “llano”.
La noción de plano tiene diversos usos y acepciones. Puede tratarse de una superficie que carece de relieves, elevaciones u ondulaciones; de un elemento que cuenta con sólo dos dimensiones y que alberga infinitos puntos y rectas; o de un esquema desarrollado a escala que representa un terreno, una edificación, un dispositivo, etc.

Cartesiano, por su parte, es un adjetivo que deriva de Cartesius, el nombre en latín del filósofo francés René Descartes (que vivió entre finales del siglo XVI y la primera mitad del siglo XVII). El término, por lo tanto, refiere a lo vinculado al cartesianismo (los postulados o principios propuestos por este pensador).

Se conoce como plano cartesiano al elemento ideal que dispone de coordenadas cartesianas. Éstas son rectas paralelas a los ejes que se toman como referencia. Se trazan sobre el mencionado plano y posibilitan establecer la posición de un punto. La denominación de plano cartesiano, por supuesto, es un tributo a Descartes, quien sostenía su desarrollo filosófico en un punto de partida que resultaba evidente y que permitía construir conocimiento.
El plano cartesiano exhibe un par de ejes que son perpendiculares entre sí y se interrumpen en un mismo punto de origen. El origen de coordenadas, en este sentido, es el punto referente de un sistema: en dicho punto, el valor de todas las coordena47das tiene nulidad (0, 0). Las coordenadas cartesianas x e y, por otra parte, reciben el nombre de abscisa y ordenada, de manera respectiva, en el plano.
De la misma forma tampoco podemos obviar otra serie de elementos que son fundamentales en cualquier plano cartesiano. De esta manera, nos encontramos con el origen de coordenadas, que se representa mediante la O y que puede definirse como el punto en el que se cortan los ejes anteriormente mencionados.
Asimismo, también hay que hacer referencia a lo que se da en llamar abscisa del punto P y la ordenada del punto P. Y todo ello sin olvidar tampoco que en cualquier plano cartesiano se pueden llevar a cabo diversas funciones como son las lineales, las de proporcionalidad directa y las de proporcionalidad indirecta.
Las primeras se identifican por el hecho de que en ellas todos los puntos están alineados. Mientras, las segundas están protagonizadas por la presencia de lo que se conoce como constante de proporcionalidad, que se identifica por la letra k, y por el hecho de que en ellas si en los pares de valores se divide la ordenada por la abscisa siempre se obtiene el mismo número.
Una operación esta que difiere de la que se da en las funciones de proporcionalidad indirecta pues en ellas lo que se produce es la multiplicación de la ordenada por la abscisa en los pares de valores. El resultado será siempre el mismo número.
En un sistema de coordenadas plano, que está formado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen, cada punto puede denominarse a través de dos números.

teoría: El plano cartesiano

EL PLANO CARTESIANO.

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.

Ejemplos:
Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano. Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano.
Determinar las coordenadas del punto M.
Las coordenadas del punto M son (3,-5).

De lo anterior se concluye que:
Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.
Doña Lupe nos ha dicho que su farmacia está dentro del centro de la ciudad . Supongamos que deseamos saber la ubicación exacta de la farmacia de Doña Lupe Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para que nos oriente. El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras hacía el norte para llegar a la farmacia. La cantidad de cuadras que tenemos que caminar las podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano.
Lo anterior lo podemos expresar en un plano cartesiano de la siguiente manera:
Para el problema planteado , el origen del plano será el punto de partida que es en donde le preguntamos al policía sobre la ubicación de la farmacia.

Funciones lineales:
Esta clase de funciones tienen dos características esenciales:

Las variaciones entre dos valores de la variable independiente y la de sus correspondientes de la variable dependiente son uniformes.
Todos los puntos de su gráfica están alineados.

Funciones de proporcionalidad directa:
Si en todos los pares de valores de una función de proporcionalidad directa dividimos la ordenada por la abscisa, obtenemos siempre el mismo número. Ese valor se llama constante de proporcionalidad, y se escribe habitualmente k.
Funciones de proporcionalidad inversa:
Si en todos los pares de valores de una función de proporcionalidad inversa multiplicamos la ordenada por la abscisa, obtenemos siempre el mismo número, que es la constante de proporcionalidad, y habitualmente se escribe k.

un video de como ubicar un plano cartesiano
http://www.youtube.com/watch?v=v1_fJoy8oZU

Explicación de regla de tres simple (proporcionalidades)
http://www.youtube.com/watch?v=APSo5G1z6oQ&list=PLFCAB0A68C828CC99

Explicación de notación científica
http://www.youtube.com/watch?v=Y73wH8J9grU&list=PLFCAB0A68C828CC99

Teoremas de Hero y coseno

Teorema del coseno

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Teorema del coseno
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

$c^2=a^2+b^2-2ab\,\cos(\gamma)$

En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía. En francés, sin embargo, lleva el nombre del matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificó los resultados de sus predecesores.^[

Mover los vértices A, B y C y comprobar la coseno teorema y el teorema de héroe de un triángulo.

http://www.geogebratube.org/student/m1489

HISTOGRAMA.

En estadística, un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En el eje vertical se representan las frecuencias, y en el eje horizontal los valores de las variables, normalmente señalando las marcas de clase, es decir, la mitad del intervalo en el que están agrupados los datos.

Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que se han agrupado en clases.

Se utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas de edades o altura de la muestra, y, por comodidad, sus valores se agrupan en clases, es decir, valores continuos. En los casos en los que los datos son cualitativos (no-numéricos), como sexto grado de acuerdo o nivel de estudios, es preferible un diagrama de sectores.

Tipos de histograma

Diagramas de barras simples

Representa la frecuencia simple (absoluta o relativa) mediante la altura de la barra la cual es proporcional a la frecuencia simple de la categoría que representa.

Diagramas de barras compuesta

Se usa para representar la información de una tabla de doble entrada o sea a partir de dos variables, las cuales se representan así; la altura de la barra representa la frecuencia simple de las modalidades o categorías de la variable y esta altura es proporcional a la frecuencia simple de cada modalidad.

Diagramas de barras agrupadas

Se usa para representar la información de una tabla de doble entrada o sea a partir de dos variables, el cual es representado mediante un conjunto de barras como se clasifican respecto a las diferentes modalidades.

Polígono de frecuencias

Es un gráfico de líneas que de las frecuencias absolutas de los valores de una distribución en el cual la altura del punto asociado a un valor de las variables es proporcional a la frecuencia de dicho valor.

Ojiva porcentual

Es un gráfico acumulativo, el cual es muy útil cuando se quiere representar el rango porcentual de cada valor en una distribución de frecuencias.

OJIVAS.

Una distribución de frecuencia acumulativa nos permite ver cuantas observaciones se hallan por arriba o por debajo de ciertos valores, en lugar de limitarnos a anotar los números de elementos dentro de los intervalos. Por ejemplo, si queremos saber cuantos galones contienen menos de 17.0 ppm, podemos servirnos de una tabla que incluya frecuencias acumulativas “menores que” en nuestra muestra.

Distribución de frecuencia acumulativa “menor que” de las concentraciones de cloro en ppm

Se llama ojiva a la gráfica de una distribución de frecuencia acumulativa. La ojiva de una distribución de este tipo se muestra en la figura. Los puntos graficados representan la cantidad de galones que tienen menos cloro que las partes por millón indicadas sobre el eje horizontal.
Ojiva “menor que” de la distribución de las concentraciones de cloro en ppm para 30 galones de agua tratada.

En ocasiones la información que se utiliza se presenta a partir de frecuencias “mayores que”. La ojiva apropiada para tal información tendrá una pendiente hacia abajo y hacia la derecha.

También es posible construir una ojiva de una distribución de frecuencia relativa, de la misma manera que una absoluta.

POLIGONO DE FRECUENCIA.

Es el nombre que recibe una clase de gráfico que se crea a partir de un histograma de frecuencia. Estos histogramas emplean columnas verticales para reflejar frecuencias): el polígono de frecuencia es realizado uniendo los puntos de mayor altura de estas columnas.

Es decir, por tanto, podríamos establecer que un polígono de frecuencia es aquel que se forma a partir de la unión de los distintos puntos medios de las cimas de las columnas que configuran lo que es un histograma de frecuencia. Este se caracteriza porque utiliza siempre lo que son columnas de tipo vertical y porque nunca debe haber espacios entre lo que son unas y otras.

Se conoce como polígonos de frecuencia para datos agrupados a aquellos que se desarrollan mediante la marca de clase que tiene coincidencia con el punto medio de las distintas columnas del histograma. En el momento de la representación de todas las frecuencias que forman parte de una tabla de datos agrupados, se genera el histograma de frecuencias acumuladas que posibilita la diagramación del polígono correspondiente.

El punto de más altura de un polígono de frecuencia equivale a la mayor frecuencia, mientras que el área que se sitúa debajo de la curva incluye todos los datos que existen. Cabe recordar que la frecuencia es la repetición mayor o menor de un evento, o el número de veces que un acontecimiento periódico se reitera en una unidad temporal.

DIAGRAMA DE CAJA Y EJES.

Una gráfica de este tipo consiste en una caja rectangular, donde los lados más largos muestran el recorrido intercuartílico. Este rectángulo está dividido por un segmento vertical que indica donde se posiciona la mediana y por lo tanto su relación con los cuartiles primero y tercero (recordemos que el segundo cuartil coincide con la mediana).
Esta caja se ubica a escala sobre un segmento que tiene como extremos los valores mínimo y máximo de la variable. Las líneas que sobresalen de la caja se llaman bigotes. Estos bigotes tienen tienen un límite de prolongación, de modo que cualquier dato o caso que no se encuentre dentro de este rango es marcado e identificado individualmente

Ejemplo distribución de edades

Utilizamos la ya usada distribución de frecuencias (en tallos y hojas), que representan la edad de un colectivo de 20 personas.

                                              36  25  37  24  39  20  36  45  31  31

                                              39  24  29  23  41  40  33  24  34  40

Ordenar los datos

Para calcular los parámetros estadístico, lo primero es ordenar la distribución

20  23  24  24  24  25  29  31  31  33  34  36  36  37  39  39  40  40  41  45

Calculo de Cuartiles

Q₁, el cuartil Primero es el valor mayor que el 25% de los valores de la distribución. Como N = 20 resulta que N/4 = 5; el primer cuartil es la media aritmética de dicho valor y el siguiente:

Q₁= (24 + 25) / 2 = 24,5

Q₂, el Segundo Cuartil es, evidentemente, la mediana de la distribución, es el valor de la variable que ocupa el lugar central en un conjunto de datos ordenados. Como N/2 =10; la mediana es la media aritmética de dicho valor y el siguiente:

m_e= Q₂ = (33 + 34)/ 2 =33,5

Q₃ , el Tercer Cuartil, es el valor que sobrepasa al 75% de los valores de la distribución. En nuestro caso, como 3N / 4 = 15, resulta

Q₂= (39 + 39) / 2 = 39

Dibujar la Caja y los Bigotes

El bigote de la izquierda representa al colectivo de edades (Xmín, Q₁)
La primera parte de la caja a (Q₁, Q₂),
La segunda parte de la caja a (Q₂, Q₃)
El bigote de la derecha viene dado por (Q₃, X_máx).

Información del diagrama

Podemos obtener abundante información de una distribución a partir de estas representaciones. Veamos alguna:

La parte izquierda de la caja es mayor que la de la derecha; ello quiere decir que las edades comprendidas entre el 25% y el 50% de la población está más dispersa que entre el 50% y el 75%.
El bigote de la izquierda (Xmím, Q₁) es más corto que el de la derecha; por ello el 25% de los más jóvenes están más concentrados que el 25% de los mayores.
El rango intercuartílico = Q₃ - Q₁ = 14,5; es decir, el 50% de la población está comprendido en 14,5 años.

DIAGRAMA DE SECTORES.

Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas.

Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.

El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos.

Ejemplo

En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 9 juegan al fútbol y el resto no practica ningún deporte.

	Alumnos	Ángulo
Baloncesto	12	144°
Natación	3	36°
Fútbol	9	108°
Sin deporte	6	72°
Total	30	360°

Función trigonométrica

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a una circunferencia de radio unidad de centro O.

Conceptos básicos

Identidades trigonométricas fundamentales.

Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

Función	Abreviatura	Equivalencias (en radianes)
Seno	sin (sen)	$\sin \; \theta \equiv \frac{1}{\csc \theta} \equiv \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\cot \theta} \,$
Coseno	cos	$\cos \theta \equiv \frac{1}{\sec \theta} \equiv \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sin \theta}{\tan \theta} \,$
Tangente	tan	$\tan \theta \equiv \frac{1}{\cot \theta} \equiv \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \,$
Cotangente	ctg (cot)	$\cot \theta \equiv \frac{1}{\tan \theta} \equiv \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \,$
Secante	sec	$\sec \theta \equiv \frac{1}{\cos \theta} \equiv \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\tan \theta}{\sin \theta} \,$
Cosecante	csc (cosec)	$\csc \theta \equiv \frac{1}{\sin \theta} \equiv \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cot \theta}{\cos \theta} \,$

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: $\alpha$ , del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo $\alpha$ .
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo $\alpha$ .

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

$\sin \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {a} {h}.$

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo $\alpha$ , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

$\cos \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {b} {h}.$

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

$\tan \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {a} {b}.$

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

$\cot \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {b} {a}.$

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

$\sec \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {h} {b}.$

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

$\csc \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {h} {a}.$

Funciones trigonométricas de ángulos notables

	0°	30°	45°	60°	90°
sen	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cos	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
tan	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	$\infty$

Definición para un número real cualquiera

No es posible utilizar la definición dada anteriormente, un coseno de $\alpha$ para valores de $\alpha$ menores o iguales a 0 o valores mayores o iguales a π/2, pues no se podría construir un triángulo rectángulo tal que uno de sus ángulos mida $\alpha$ radianes. Para definir los valores de estas funciones para valores comprendidos entre 0 y 2π, se utilizará entonces una circunferencia unitaria, centrada en el origen de coordenadas del plano cartesiano. Se definirán las funciones trigonométricas seno y coseno como la abscisa y la ordenada, respectivamente, de un punto P perteneciente a la circunferencia, siendo $\alpha$ el ángulo, medido en radianes, entre el semieje positivo x y el segmento que une el origen con P.
Seno y coseno.gif

Puede observarse que estas funciones toman valores entre -1 y 1. Nótese que para valores entre 0 y π/2, los valores obtenidos para el seno y el coseno con esta definición, coinciden con los obtenidos utilizando la noción de razón trigonométrica. Si el valor de x esta fuera del intervalo [0,2π], puede descomponerse como x=2kπ+x' siendo k un número entero y x' un valor entre 0 y 2π. Se asignará a x los mismos valores de seno y coseno que los asignados a x', ya que puede interpretarse a x como un ángulo coterminal con x', y por lo tanto, las coordenadas del punto P serán las mismas en ambos casos.

Representación gráfica

Demostración de funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Construcción geométrica de la suma de dos ángulos

Mirando la figura a la derecha se observa:
$\sin(\alpha+\beta)=\frac{BH}{AB}=\frac{HE+EB}{AB}=\frac{HE}{AB}+\frac{EB}{AB}$
Si $HE=DG$ (cateto opuesto del triángulo de ángulo $\alpha$ ), entonces $\frac{HE}{AB}=\frac{DG}{AB}$ . Se tiene entonces la expresión siguiente:
$\sin(\alpha+\beta)=\frac{DG}{AB}+\frac{EB}{AB}$
En la razón $\frac{DG}{AB}$ se observa fácilmente que $DG$ y $AB$ pertenecen a triángulos diferentes, y si se multiplica tanto el numerador como el denominador por un lado en común a estos dos triángulos, se pueden obtener funciones trigonométricas:
$\frac{DG}{AB}=\frac{DG}{AB}\cdot \frac{AD}{AD}=\frac{DG}{AD}\cdot \frac{AD}{AB}=\sin(\alpha)\cos(\beta)$
Lo mismo para $\frac{EB}{AB}$ :
$\frac{EB}{AB}=\frac{EB}{AB}\cdot \frac{BD}{BD}=\frac{EB}{BD}\cdot \frac{BD}{AD}=\cos(\alpha)\sin(\beta)$
Luego:
$\sin(\alpha+\beta)=\frac{DG}{AB}+\frac{EB}{AB}=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)$
$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)$
Como ya conocemos la función seno, es fácil encontrar las funciones restantes:
La función coseno es una traslación de la función seno $\frac{\pi}{2}$ unidades hacia la izquierda sobre el eje $x$ :
$\cos(\alpha+\beta)=\sin(\alpha+\beta+\frac{\pi}{2})$
$\cos(\alpha+\beta)=\sin(\alpha+(\beta+\frac{\pi}{2}))$
$\cos(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta+\frac{\pi}{2})+\sin(\beta+\frac{\pi}{2})\cos(\alpha)$
Si se traslada la función coseno $\frac{\pi}{2}$ unidades hacia la izquierda, se obtiene la función negativa seno.
$\cos(\alpha+\beta)=-\sin(\alpha)\sin(\beta)+\cos(\beta)\cos(\alpha)$
$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\beta)\cos(\alpha)-\sin(\alpha)\sin(\beta)$
La función $\tan(\alpha+\beta)$ se obtiene al efectuar:
$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\beta)\cos(\alpha)-\sin(\alpha)\sin(\beta)}$
$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\frac{\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}{\frac{\cos(\beta)\cos(\alpha)-\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}$
$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}$
$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}$

Funciones trigonométricas de ángulo doble

Sabiendo las funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos, se pueden determinar las funciones trigonométricas de ángulo doble al plantear que $\alpha = \beta$

$\sin(\alpha+\beta) =\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha$
$\sin 2\alpha =\sin\alpha \cos\alpha + \sin\alpha\cos\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos(\alpha+\beta)=cos \alpha \cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha$

Para la fórmula del coseno del ángulo doble se pueden presentar otras dos formas alternativas con el uso de las identidades pitagóricas: Convirtiendo $\cos\alpha$ a términos de $\sin\alpha$ , o convirtiendo $\sin\alpha$ a términos de $\cos\alpha$ :

$\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha -1$
$\cos2\alpha =1-2\sin^2\alpha$

Para la tangente del ángulo doble se procede de la misma manera:

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$
$\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

Definiciones analíticas

La definición analítica más frecuente dentro del análisis real se hace a partir de ecuaciones diferenciales. Usando la geometría y las propiedades de los límites, se puede demostrar que la derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es el seno con signo negativo. (Aquí, como se hace generalmente en cálculo, todos los ángulos son medidos en radianes.)

$\begin{cases} S'(x) = C(x) & S(0) = 0 \\ C'(x) = -S(x)& C(0) = 1 \end{cases}$

El teorema de Picard-Lindelöf de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales lleva a que existen las funciones anteriores que se llaman respectivamente seno y coseno, es decir:

$\cos x = C(x), \qquad \sin x = S(x)$

Esta definición analítica de las funciones trigonométricas permite una definición no-geométrica del número π, a saber, dicho número es el mínimo número real positivo que es un cero de la función seno.

Series de potencias

A partir de las definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son funciones analíticas cuya serie de Maclaurin viene dada por:

$\sin x = \sum_{k=0}^\infty \cfrac{(-1)^k \; x^{2k+1}}{(2k+1)!} = \cfrac{x}{1!} - \cfrac{x^3}{3!} + \cfrac{x^5}{5!} - \cfrac{x^7}{7!} \; \dots$

$\cos x = \sum_{k=0}^\infty \cfrac{(-1)^k \; x^{2k}}{(2k)!} = \cfrac{1}{0!} - \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^4}{4!} - \cfrac{x^6}{6!} \; \dots$

Estas identidades son a veces usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno. Con frecuencia se utilizan como el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones (por ejemplo en las Series de Fourier), debido a que la teoría de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base del sistema de números reales, independientemente de cualquier consideración geométrica. La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir de las definiciones de series por sí misma.

Relación con la exponencial compleja

Existe una relación importante entre la exponenciación de números complejos y las funciones trigonométricas:

$e^{ix} = \cos x + i \sin x \,$

Esta relación puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la función exponencial y el obtenido en la sección anterior para las funciones seno y coseno. Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresión anterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en términos de exponenciales complejas:

$\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \qquad \sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

A partir de ecuaciones diferenciales

Las funciones seno y coseno satisfacen la igualdad:

$y'' = -y.\,$

Es decir, la segunda derivada de cada función es la propia función con signo inverso. Dentro del espacio funcional de dos dimensiones V, que consiste en todas las soluciones de esta ecuación,

la función seno es la única solución que satisface la condición inicial $\scriptstyle \left( y'(0), y(0) \right) = (1, 0)\,$ y
la función coseno es la única solución que satisface la condición inicial $\scriptstyle \left( y'(0), y(0) \right) = (0, 1)\,$ .

Dado que las funciones seno y coseno son linealmente independientes, juntas pueden formar la base de V. Este método para definir las funciones seno y coseno es esencialmente equivalente a utilizar la fórmula de Euler. Además esta ecuación diferencial puede utilizarse no solo para definir al seno y al coseno, con ella también se pueden probar las identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno.
Además, la observación de que el seno y el coseno satisfacen y′′ = −y implica que son funciones eigen del operador de la segunda derivada.
La función tangente es la única solución de la ecuación diferencial no lineal

$y' = 1 + y^2\,$

satisfaciendo la condición inicial y(0) = 0. Existe una interesante prueba visual de que la función tangente satisface esta ecuación diferencial.

Funciones trigonométricas inversas

Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:

Arcoseno es la función inversa del seno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo seno es dicho valor.

La función arcoseno real es una función $\left[-1,1\right] \to \left[0,2\pi \right]\,$ , es decir, no está definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:

$\mbox{arcsin}(x) = \begin{cases} -\cfrac{\pi}{2} & x = -1 \\ x + \cfrac{1}{2}\cfrac{x^3}{3} + \cfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cfrac{x^5}{5} + \cfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\cfrac{x^7}{7} + \dots & -1 < x < 1\\ +\cfrac{\pi}{2} & x = 1 \end{cases}$

Arcocoseno es la función inversa del coseno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor.

Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como:

$\mbox{arccos}(x) = \frac{\pi}{2} - \mbox{arcsin}(x)$

Arcotangente es la función inversa de la tangente de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor.

A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de serie es:

$\mbox{arctan}(x) = \begin{cases} x - \cfrac{x^3}{3} + \cfrac{x^5}{5} - \cfrac{x^7}{7} + \dots & |x| < 1 \\ \pm\cfrac{\pi}{2} -\cfrac{1}{x} +\cfrac{1}{3x^3} -\cfrac{1}{5x^5}+ \dots & +\ \mbox{con}\ x \ge 1, -\ \mbox{con}\ x \le -1 \end{cases}$

videos de funciones

http://www.youtube.com/watch?v=Sg9xxbvvQEY

http://www.youtube.com/watch?v=64SbPG1ikrE

http://www.youtube.com/watch?v=0XSf16vQRm8

http://www.youtube.com/watch?v=XHbKZTbKWwU

Ejercicios de identidades trigonométricas

1.)

2.)

3.)

4.)

5.)

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