Grado 8 colegio santa rosa de Cali TEMAS: Productos notables y Ejercicios, algebra, plano cartesiano y unos ejercicios de potencias, numeros irracionales,

Productos notables        

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas y cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.

 

Factor común

Representación gráfica de la regla de factor común.

El resultado de multiplicar un binomio por un término se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es

(el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: y

Ejemplo:

Cuadrado de un binomio

Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:

Un trinomio de la expresión siguiente: se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.
Ejemplo:

Simplificando:

Producto de dos binomios con un término común

Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común.

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, el cuadrado del término común se suma con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

Ejemplo:

Agrupando términos:

Luego:

Producto de dos binomios conjugados

Véase también: Conjugado (matemática).

Producto de binomios conjugados.

Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.

Ejemplo:

Agrupando términos:

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

Polinomio al cuadrado

Elevación de un trinomio al cuadrado de forma gráfica.

Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

Ejemplo:

Multiplicando los monomios:

Agrupando términos:

Luego:

Cubo de un binomio

Descomposición volumétrica del binomio al cubo.

Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:

• El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
• El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
• El cubo del segundo término.

Identidades de Cauchy:

Ejemplo:

Agrupando términos:

Si la operación del binomio implica resta, el resultado es:

• El cubo del primer término.
• Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
• Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
• Menos el cubo del segundo término.

Identidades de Cauchy:

Ejemplo:

Agrupando términos:

Identidad de Argand

Identidades de Gauss

Identidades de Legendre

Identidades de Lagrange

Artículo principal: Identidad de Lagrange.

 

Resolver los siguientes Productos Notables

1.- (x + 5)²                                                     2.- (7a + b)²

3.- (4ab² + 6xy³)²                                         4.- (x⁴ + y²)²

5.- (8 - a)²                                                     6.- (3x⁴ -5y²)²

7.- (x⁵ - 4x³)²                                                8.- (5a + 10b)(5a - 10b)

9.- (7x² - 12y³)(7x² + 12y³)                        10.- (x + 4)³

11.- (5x + 2y)³                                             12.- (2x²y + 4m)³

13.- (1 - 4y)³                                                14.- (3a³ - 7xy⁴)³

15.- (2x⁴ - 8y⁴)³                                           16.- (y - 12)(y - 7)

17.- (x + 5)(x + 3)                                        18.- (a + 9)(a - 6)

19.- (4x³ + 15)(4x³ + 5)                              20.- (5y² + 4)(5y³ - 14)

 



DEFINICION DE ALGEBRA
Algebra es el nombre que identifica a una rama de la Matemática que emplea números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas. El término tiene su origen en el latín algebra, el cual, a su vez, proviene de un vocablo árabe que se traduce al español como “reducción” o “cotejo”.
Este origen etimológico permitió que, en tiempos pasados, se conociera como álgebra al arte focalizado en la reducción de huesos que estaban dislocados o quebrados. Este significado, de todas maneras, ha caído en desuso.
Hoy entendemos como álgebra al área matemática que se centra en las relaciones, estructuras y cantidades. La disciplina que se conoce como álgebra elemental, en este marco, sirve para llevar a cabo operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) pero que, a diferencia de la aritmética, se vale de símbolos (a, x, y) en lugar de utilizar números. Esto permite formular leyes generales y hacer referencia a números desconocidos (incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de ecuaciones y el análisis correspondiente a su resolución.

El álgebra elemental postula distintas leyes que permiten conocer las diferentes propiedades que poseen las operaciones aritméticas. Por ejemplo, la adición (a + b) es conmutativa (a + b = b + a), asociativa, tiene una operación inversa (la sustracción) y posee un elemento neutro (0).
Algunas de estas propiedades son compartidas por distintas operaciones; la multiplicación, por ejemplo, también es conmutativa y asociativa.
Se conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, por otra parte, a un postulado según el cual, en una variable no constante donde hay coeficientes complejos, un polinomio posee tantas raíces como marca su grado, debido a que las raíces se tienen en cuenta con sus multiplicidades. Esto supone que el cuerpo de los números complejos es cerrado para las operaciones del álgebra.

HISTORIA DEL ALGEBRA
La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan.

Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se la llamó “ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra árabe al- abr que significa `reducción', es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemático al-Jwarizmi escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2.

A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemático noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia de dicha fórmula.

Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos. Su libro de geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación. Durante el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo (véase Número (matemáticas): Números complejos).

En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas numéricos, aunque también difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones (véase Combinatoria) de las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los más importantes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX.
Otro acontecimiento clave en el desarrollo del álgebra fue la solución algebraica de las ecuaciones cúbicas y quárticas, desarrollado a mediados del siglo XVI. La idea de un factor determinante fue desarrollada por el matemático japonés Kowa Seki en el siglo XVII, seguido por Gottfried Leibniz diez años más tarde, con el fin de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matrices. Gabriel Cramer también hizo un trabajo sobre matrices y determinantes en el siglo XVIII. Resumen de álgebra se desarrolló en el siglo XIX, centrándose inicialmente en lo que ahora se llama la teoría de Galois, y en cuestiones de constructibilidad.

PLANO CARTESIANO

El primer paso que vamos a realizar antes de entrar de lleno en el análisis del término plano cartesiano es proceder a establecer el origen etimológico de las dos palabras que dan forma al mismo. Así, el vocablo plano podemos determinar que emana del latín y más exactamente del término planus que puede definirse como “llano”.
La noción de plano tiene diversos usos y acepciones. Puede tratarse de una superficie que carece de relieves, elevaciones u ondulaciones; de un elemento que cuenta con sólo dos dimensiones y que alberga infinitos puntos y rectas; o de un esquema desarrollado a escala que representa un terreno, una edificación, un dispositivo, etc.

Cartesiano, por su parte, es un adjetivo que deriva de Cartesius, el nombre en latín del filósofo francés René Descartes (que vivió entre finales del siglo XVI y la primera mitad del siglo XVII). El término, por lo tanto, refiere a lo vinculado al cartesianismo (los postulados o principios propuestos por este pensador).

Se conoce como plano cartesiano al elemento ideal que dispone de coordenadas cartesianas. Éstas son rectas paralelas a los ejes que se toman como referencia. Se trazan sobre el mencionado plano y posibilitan establecer la posición de un punto. La denominación de plano cartesiano, por supuesto, es un tributo a Descartes, quien sostenía su desarrollo filosófico en un punto de partida que resultaba evidente y que permitía construir conocimiento.
El plano cartesiano exhibe un par de ejes que son perpendiculares entre sí y se interrumpen en un mismo punto de origen. El origen de coordenadas, en este sentido, es el punto referente de un sistema: en dicho punto, el valor de todas las coordena47das tiene nulidad (0, 0). Las coordenadas cartesianas x e y, por otra parte, reciben el nombre de abscisa y ordenada, de manera respectiva, en el plano.
De la misma forma tampoco podemos obviar otra serie de elementos que son fundamentales en cualquier plano cartesiano. De esta manera, nos encontramos con el origen de coordenadas, que se representa mediante la O y que puede definirse como el punto en el que se cortan los ejes anteriormente mencionados.
Asimismo, también hay que hacer referencia a lo que se da en llamar abscisa del punto P y la ordenada del punto P. Y todo ello sin olvidar tampoco que en cualquier plano cartesiano se pueden llevar a cabo diversas funciones como son las lineales, las de proporcionalidad directa y las de proporcionalidad indirecta.
Las primeras se identifican por el hecho de que en ellas todos los puntos están alineados. Mientras, las segundas están protagonizadas por la presencia de lo que se conoce como constante de proporcionalidad, que se identifica por la letra k, y por el hecho de que en ellas si en los pares de valores se divide la ordenada por la abscisa siempre se obtiene el mismo número.
Una operación esta que difiere de la que se da en las funciones de proporcionalidad indirecta pues en ellas lo que se produce es la multiplicación de la ordenada por la abscisa en los pares de valores. El resultado será siempre el mismo número.
En un sistema de coordenadas plano, que está formado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen, cada punto puede denominarse a través de dos números.

teoría: El plano cartesiano

EL PLANO CARTESIANO.  

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:
         P (x, y)

 Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.

Ejemplos:
Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano. Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano.
 Determinar las coordenadas del punto M.
Las coordenadas del punto M son (3,-5).

 De lo anterior se concluye que:
Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.
    Doña Lupe  nos ha dicho que su farmacia  está dentro del centro de la  ciudad . Supongamos que deseamos saber la ubicación  exacta de la farmacia de Doña Lupe Una vez  que ya estamos  en  el centro le preguntamos a un policía para que nos oriente. El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras hacía el norte para llegar a la farmacia. La cantidad de cuadras que tenemos que caminar  las podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano.
Lo anterior lo podemos expresar en un plano cartesiano de la siguiente manera:
Para el problema planteado , el origen del plano será el punto de partida que es en donde le preguntamos al policía sobre la ubicación de la farmacia.

Funciones lineales:
Esta clase de funciones tienen dos características esenciales:

• Las variaciones entre dos valores de la variable  independiente y la de sus correspondientes de la variable dependiente son uniformes.
• Todos los puntos de su gráfica están alineados.

Funciones de proporcionalidad directa:
Si en todos los pares de valores de una función de proporcionalidad directa dividimos la ordenada por la abscisa, obtenemos siempre el mismo número. Ese valor se llama constante de proporcionalidad, y se escribe habitualmente k.
Funciones de proporcionalidad inversa:
Si en todos los pares de valores de una función de proporcionalidad inversa multiplicamos la ordenada por la abscisa, obtenemos siempre el mismo número, que es la constante de proporcionalidad, y habitualmente se escribe k.

un video de como ubicar un plano cartesiano
http://www.youtube.com/watch?v=v1_fJoy8oZU

Ejercicios de las potencias.

 Escribe el valor de cada potencia:

 

3 ³   =                                                                     10  ³  =

7 ²   =                                                                       5 ²  =

8 ⁴   =                                                                        6 ⁴ =

10 ⁵  =                                                                       3 ² =

2 ⁶  =                                                                        10 ¹=

Números Irracionales

En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción , donde y son enteros, con diferente de cero y donde esta fracción es irreducible. Es cualquier número real que no es racional.

Definición de números irracionales

¿Qué son números irracionales? Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.
Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la
longitud de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número
2

, o raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato, cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones o fracciones.
Para distinguir los números irracionales de los racionales, debemos tomar en cuenta que los números racionales si se pueden escribir de manera fraccionada o racional, por ejemplo: 18/5 que es igual a 3,6 por lo tanto es un número racional a diferencia de la raíz cuadrada de dos en cuyo resultado se obtienen infinito número de cifras decimales, y su fraccionamiento resulta imposible.
Podrías intentar encontrar la respuesta en una calculadora, y según el número de decimales con la cual la tengas programada, obtendrás algunos resultados: 1.4142135 esta es la respuesta de √2 con siete decimales, pero la cifra se irá alargando pues tiene infinitos decimales. De esta manera podemos definir a los números irracionales como un decimal infinito no periódico, es decir que cualquier representación de un número irracional, solo es una aproximación en números racionales.

Notación de los números irracionales

La representación gráfica de los números irracionales se la hace con la letra I mayúscula. Se la utiliza de esta manera para diferenciarla de los números imaginarios, cuya representación es la i minúscula. Pero el símbolo no se representa en las ecuaciones al no constituir una estructura algebraica, y para no crear confusión, en ocasiones se los puede ver como R/Q como la representación de números irracionales por definición.
Existen algunos casos especiales de números irracionales famosos que tienen su propia notación y simbología, estos casos serán tratados posteriormente.

Propiedades de los números irracionales

Además de ser un número infinito decimal no periódico, los números irracionales tienen otras propiedades como:
Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.
Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).
Propiedad cerrada: es decir que el resultado de la suma, resta, multiplicación, división o potenciación de un número irracional, siempre será un número irracional. Sin embargo la propiedad cerrada no se cumple en el caso de la radicación.
Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ×1/ϕ=1.
La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta. Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π.

Clasificación de los números irracionales

Dentro de la recta real numérica existen varios conjuntos de números, pero dentro de los números irracionales hay más tipos para clasificar, estos son:
Número algebraico.- se les llama así a los números irracionales que surgen de resolver alguna ecuación algebraica y se escribe con un número finito de radicales libres o anidados. En general, las raíces no exactas de cualquier orden se encuentran dentro de este conjunto, es decir las raíces cuadradas, cúbicas, etc.
Número trascendente.- este es un número irracional que no puede ser representado a través de un número finito de radicales libres o anidados, estos provienen de otro tipo de operaciones llamadas funciones trascendentes utilizadas mucho en trigonometría, logaritmos, exponenciales, etcétera. Aunque también pueden surgir de la simple acción de escribir números decimales al azar sin periodicidad y sin un patrón determinado, podemos decir que son decimales infinitos.
Este último tipo, se diferencia del anterior porque no puede ser el resultado de una ecuación algebraica, en otras palabras, son relevantes a la clasificación porque no tienen una representación con un número radical.

Números irracionales famosos

Como se mencionaba anteriormente, existen números irracionales determinados que son utilizados en diferentes ramas, para operaciones específicas, algunos de ellos son:
Pi, o como se lo conoce mejor con su símbolo π, este es el más conocido de los números irracionales, y se utiliza en su mayoría para matemáticas, física e ingeniería. Su valor es el cociente entre la longitud o perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro. De él se han calculado millones de cifras decimales y aún sigue sin ofrecer un patrón. La aproximación de su número es 3.141592653589...

Numero Irracional Pi

e es otro número irracional famoso, utilizado en cálculo más que nada, es llamado también número de Euler, y de él también se han calculado infinidad de decimales sin llegar a encontrar una repetición periódica. Sus primeros decimales son 2,718281828459…
El número áureo o razón de oro, representado con la letra griega ϕ o phi también es muy utilizado por muchos artistas, en especial se lo conoce por las proporciones corporales usadas por Leonardo da Vinci, cuya aproximación es 1,618033988749…

Número Irracionales:

Concepto:

Son aquellos que se escriben mediante una expresión decimal con infinitas cifras y no periódicas. Dicho conjunto lo denotamos por "I".

Operaciones de los Números Irracionales :
Adición:
Es la combinación interna de unidades decimales que se originan de una suma algebraica de dos o mas sumandos.
Ej.

35,72

17,5

183,246

236,466

Sustracción:

Es la operación inversa a la suma de decimales y tiene por objeto, dados los elementos (minuendo, sustraendo y diferencia)..

Ej.

57,35

- 24,41

32,94

Multiplicación:

Para multiplicar los decimales, ellos se multiplican como enteros y en el producto se separan tantas cifras decimales como tengan entre los dos factores, escribiendo ceros a la izquierda si son necesarios para separar las cifras decimales.
Pero en cuanto a la unidad seguida de ceros, se recorre la coma decimal tantos lugares como ceros tengan el multiplicando, añadiendo a la derecha del numero decimal los ceros que sean precisos para poder recorrer la coma.

Ejemplos:

3,57 * 10 = 35,7.

16,7 * 100 = 1670.

25,32

x 100

2532,00

División:

Esta es efectuada si el dividendo y el divisor fueran números naturales, pero al bajar la primera cifra decimal se coloca la coma al cociente.

Ejemplo:

14,25 | 3

02 2 4,75

015

0

VIDEOS DE IRRACIONALES

https://www.youtube.com/watch?v=siysHF1FiAs

https://www.youtube.com/watch?v=Ayeo55e-nvo