Grado 11 colegio santa rosa de Cali TEMAS: Definicion de calculo, plano cartesiano y dominio de la funcion, Proposicion entre otros, intervalos, unificacion,complementacion y diferencial, Inecuación

DEFINICION DE CALCULO (MATEMATICO)

la palabra cálculo proviene del término latino calculus (“piedra”) y se refiere a la cuenta, la enumeración o la pesquisa que se lleva a cabo mediante un ejercicio matemático. El concepto también se utiliza como sinónimo de conjetura.
El uso más extendido del término se encuentra en el ámbito de la lógica o de la matemática, donde el cálculo consiste en un algoritmo (un conjunto de instrucciones preestablecidas) que permite anticipar el resultado que procederá de ciertos datos que se conocen con anticipación. El origen etimológico de la palabra tiene que ver con las rocas que se empleaban en la antigüedad para realizar este tipo de cálculos.

Por ejemplo: “¿Has analizado los balances? Creo que algunos cálculos de ventas están mal hechos”, “Si mi cálculo es correcto, este mes ganaremos más de mil dólares”, “Un cálculo rápido permitió a Luis estimar que las pérdidas no serán tan grandes”, “Según el cálculo de Javier, tenemos que poner cien pesos cada uno para alquilar el salón”.
Entre los distintos tipos de cálculos, podemos mencionar al cálculo algebraico (que emplea números y letras que aparecen en reemplazo de las cantidades) y al cálculo aritmético (que sólo utiliza números y ciertos signos que actúan por convención).
En economía, el cálculo esencial, a diferencia de los métodos de cálculo tradicionales, está enfocado hacia afuera y de cara al futuro. Mientras que los cálculos convencionales se apoyan en los aspectos de carácter interno de una empresa, teniendo en cuenta el número de unidades y los costos que hubo en el pasado; el cálculo esencial analiza las condiciones del entorno, la tecnología, las formas de organización y el presupuesto con el que deberá contarse (costos)en el futuro.
El cálculo esencial busca que la empresa se integre óptimamente al ambiente a fin de que su desempeño pueda tener lugar no sólo en el presente, sino también en un futuro, de modo que crezca la fuerza de atracción sobre factores supletorios en la cadena de producción. Cabe señalar que el método esencial intenta adaptarse a la acción compleja de rentabilidad desde un enfoque general, mirando el medio ambiente y aprovechando los recursos hoy para asegurar un futuro satisfactorio para la compañía.

HISTORIA DEL CALCULO

El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construído, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante prestar atención en el bagaje de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajaron con los métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días.

Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna.

Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de Oresme, Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras. Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe reconocerse que una de las contribuciones previas decisivas fue la Geometría Analítica desarrollada independientemente por Descartes y Fermat.

Sin la contribución de éstos y de muchos otros hombres más, el cálculo de Newton y Leibniz seguramente no existiría. Su construcción fue parte importante de la revolución científica que vivió la Europa del siglo XVII.Los nuevos métodos enfatizaron la experiencia empírica y la descripción matemática de nuestra relación con la realidad. La revolución científica supuso una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V y XV. Esta ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos por las importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el Renacimiento y la Reforma Protestante. El Cálculo Diferencial e Integral están en el corazón del tipo de conocimiento, cultura y de sociedad de la que, esencialmente, somos parte.

El extraordinario avance registrado por la matemática, la física y la técnica durante los siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Cálculo infinitesimal y por eso se puede considerar como una de las joyas de la creación intelectual de la que el hombre puede sentirse orgulloso.

El siglo XVII y la disputa por la creación del cálculo

En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos:

Encontrar la tangente a una curva en un punto.

Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.

Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.

Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido.

En parte estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este siglo, concluyendo en la obra cumbre del filósofo-matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el físico-matemático inglés Issac Newton: la creación del cálculo. Se sabe que los dos trabajaron en forma casi simultánea pero sus enfoques son diferentes. Los trabajos de Newton están motivados por sus propias investigaciones físicas (de allí que tratara a las variables como "cantidades que fluyen") mientras que Leibniz conserva un carácter más geométrico y, diferenciándose de su colega, trata a la derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad. Leibniz no habla de derivada sino de incrementos infinitamente pequeños, a los que llama diferenciales. Un incremento de x infinitamente pequeño se llama diferencial de x, y se anota dx. Lo mismo ocurre para y (con notación dy). Lo que Newton llamó fluxión, para Leibniz fue un cociente de diferenciales (dy/dx). No resulta difícil imaginar que, al no poseer en esos tiempos un concepto claro de límite y ni siquiera de función, los fundamentos de su cálculo infinitesimal son poco rigurosos. Se puede decir que el cálculo de fluxiones de Newton se basa en algunas demostraciones algebraicas poco convincentes, y las diferenciales de Leibniz se presentan como entidades extrañas que, aunque se definen, no se comportan como incrementos. Esta falta de rigor, muy alejada del carácter perfeccionista de la época griega, fue muy usual en la época post-renacentista y duramente criticada. Dos siglos pasaron hasta que las desprolijidades en los fundamentos del cálculo infinitesimal se solucionaron, y hoy aquel cálculo, potencialmente enriquecido, se muestra como uno de los más profundos hallazgos del razonamiento humano.

Resulta muy interesante la larga y lamentable polémica desatada a raíz de la prioridad en el descubrimiento. Al principio la disputa se realizó en el marco de la cortesía pero al cabo de tres décadas comenzó a ser ofensiva hasta que en el siglo XVIII se convirtieron en mutuas acusaciones de plagio. La polémica se tornó cada vez mayor y finalmente se convirtió en una rivalidad entre los matemáticos británicos y los continentales.

La discusión siguió hasta mucho después de la muerte de los dos grandes protagonistas y, afortunadamente, hoy ha perdido interés y la posteridad ha distribuido equitativamente las glorias. Hoy está claro que ambos descubrieron este cálculo en forma independiente y casi simultánea entre 1670 y 1677, aunque fueron publicados unos cuantos años más tarde.

La difusión de las nuevas ideas fue muy lenta y al principio sus aplicaciones escasas. Los nuevos métodos tuvieron cada vez más éxito y permitieron resolver con facilidad muchos problemas. Los nuevos logros fueron sometidos a severas críticas, la justificación y las explicaciones lógicas y rigurosas de los procedimientos empleados no se dieron hasta avanzado el siglo XIX, cuando aparecieron otros matemáticos, más preocupados por la presentación final de los métodos que por su utilización en la resolución de problemas concretos.

El siglo XVIII

Durante buena parte del siglo los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Monge la geometría descriptiva. Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica, realizó contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de "el Newton francés".

Sin embargo el gran matemático del siglo fue el suizo Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. El éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo. La teoría de Newton se basó en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraico y basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.

A los matemáticos de fines del siglo el horizonte matemático les parecía obstruido. Se había llegado al estudio de cuestiones muy complicadas a las que nos se les conocía o veía un alcance claro. Los sabios sentían la necesidad de estudiar conceptos nuevos y hallar nuevos procedimientos.

El siglo XIX

Un problema importante fue definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales. En 1821, un matemático francés, Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo y se dedicó a dar una definición precisa de "función continua". Basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números reales. Los matemáticos alemanes Cantor y Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo.

Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a las técnicas del cálculo, se llevaron a cabo importantes avances en esta materia. Gauss, uno de los más importantes matemáticos de la historia, dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Riemann. Otro importante avance fue el estudio de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas, herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas, hecho por Fourier. Cantor estudió los conjuntos infinitos y una aritmética de números infinitos. La teoría de Cantor fue considerada demasiado abstracta y criticada. Encontramos aquí un espíritu crítico en la elaboración de estas nociones tan ricas. Esto constituye un punto de vista muy diferente del que animaba a los matemáticos del siglo anterior. Ya no se trata de construir expresiones ni forjar nuevos métodos de cálculo, sino de analizar conceptos considerados hasta entonces intuitivos.

Gauss desarrolló la geometría no euclideana pero tuvo miedo de la controversia que pudiera causar su publicación. También en este siglo se pasa del estudio simple de los polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos.

Los fundamentos de la matemática fueron completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés Boole en su libro Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854).

Siglo XX y nuestros días

Es importante el aporte realizado por Lebesgue referido a la integración y a la teoría de la medida y las modificaciones y generalizaciones realizadas por matemáticos que lo sucedieron.

En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert, quien contribuyó de forma sustancial en casi todas las ramas de la matemática retomó veintitrés problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que recién comenzaba. Estos problemas fueron el estímulo de una gran parte de los trabajos matemáticos del siglo.

El avance originado por la invención del ordenador o computadora digital programable dio un gran impulso a ciertas ramas de la matemática, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y generó nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se convirtió en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador permitió encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente.

El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros siguen sin solución. Al mismo tiempo aparecen nuevos y estimulantes problemas y aún la matemática más abstractas encuentra aplicación.

Conclusiones

El progreso de las ideas no se da en el tiempo a través de una trayectoria perfectamente delineada y preconcebida; existen muchos elementos que en la construcción son desechados, reformulados o agregados. Las concepciones filosóficas sobre la realidad, el papel de la ciencia, y en especial las concepciones sobre las características que debe reunir el conocimiento matemático para ser considerado como conocimiento científico, determinaron los enfoques realizados en cada época. El impacto que tuvieron los personajes y las contribuciones consignadas en la historia difícilmente puede ser comprendida cabalmente si estas consideraciones no se toman en cuenta.

UN VIDEO QUE HABLA MAS ACERCA DEL CALCULO
http://www.youtube.com/watch?v=U5aW5aR0qbU

REPASO SEGUN EXAMEN DIAGNOSTICO
PLANO CARTESIANO

El primer paso que vamos a realizar antes de entrar de lleno en el análisis del término plano cartesiano es proceder a establecer el origen etimológico de las dos palabras que dan forma al mismo. Así, el vocablo plano podemos determinar que emana del latín y más exactamente del término planus que puede definirse como “llano”.
La noción de plano tiene diversos usos y acepciones. Puede tratarse de una superficie que carece de relieves, elevaciones u ondulaciones; de un elemento que cuenta con sólo dos dimensiones y que alberga infinitos puntos y rectas; o de un esquema desarrollado a escala que representa un terreno, una edificación, un dispositivo, etc.

Cartesiano, por su parte, es un adjetivo que deriva de Cartesius, el nombre en latín del filósofo francés René Descartes (que vivió entre finales del siglo XVI y la primera mitad del siglo XVII). El término, por lo tanto, refiere a lo vinculado al cartesianismo (los postulados o principios propuestos por este pensador).

Se conoce como plano cartesiano al elemento ideal que dispone de coordenadas cartesianas. Éstas son rectas paralelas a los ejes que se toman como referencia. Se trazan sobre el mencionado plano y posibilitan establecer la posición de un punto. La denominación de plano cartesiano, por supuesto, es un tributo a Descartes, quien sostenía su desarrollo filosófico en un punto de partida que resultaba evidente y que permitía construir conocimiento.
El plano cartesiano exhibe un par de ejes que son perpendiculares entre sí y se interrumpen en un mismo punto de origen. El origen de coordenadas, en este sentido, es el punto referente de un sistema: en dicho punto, el valor de todas las coordena47das tiene nulidad (0, 0). Las coordenadas cartesianas x e y, por otra parte, reciben el nombre de abscisa y ordenada, de manera respectiva, en el plano.
De la misma forma tampoco podemos obviar otra serie de elementos que son fundamentales en cualquier plano cartesiano. De esta manera, nos encontramos con el origen de coordenadas, que se representa mediante la O y que puede definirse como el punto en el que se cortan los ejes anteriormente mencionados.
Asimismo, también hay que hacer referencia a lo que se da en llamar abscisa del punto P y la ordenada del punto P. Y todo ello sin olvidar tampoco que en cualquier plano cartesiano se pueden llevar a cabo diversas funciones como son las lineales, las de proporcionalidad directa y las de proporcionalidad indirecta.
Las primeras se identifican por el hecho de que en ellas todos los puntos están alineados. Mientras, las segundas están protagonizadas por la presencia de lo que se conoce como constante de proporcionalidad, que se identifica por la letra k, y por el hecho de que en ellas si en los pares de valores se divide la ordenada por la abscisa siempre se obtiene el mismo número.
Una operación esta que difiere de la que se da en las funciones de proporcionalidad indirecta pues en ellas lo que se produce es la multiplicación de la ordenada por la abscisa en los pares de valores. El resultado será siempre el mismo número.
En un sistema de coordenadas plano, que está formado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen, cada punto puede denominarse a través de dos números.

teoría: El plano cartesiano

EL PLANO CARTESIANO.

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.

Ejemplos:
Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano. Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano.
Determinar las coordenadas del punto M.
Las coordenadas del punto M son (3,-5).

De lo anterior se concluye que:
Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.
Doña Lupe nos ha dicho que su farmacia está dentro del centro de la ciudad . Supongamos que deseamos saber la ubicación exacta de la farmacia de Doña Lupe Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para que nos oriente. El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras hacía el norte para llegar a la farmacia. La cantidad de cuadras que tenemos que caminar las podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano.
Lo anterior lo podemos expresar en un plano cartesiano de la siguiente manera:
Para el problema planteado , el origen del plano será el punto de partida que es en donde le preguntamos al policía sobre la ubicación de la farmacia.

Funciones lineales:
Esta clase de funciones tienen dos características esenciales:

Las variaciones entre dos valores de la variable independiente y la de sus correspondientes de la variable dependiente son uniformes.
Todos los puntos de su gráfica están alineados.

Funciones de proporcionalidad directa:
Si en todos los pares de valores de una función de proporcionalidad directa dividimos la ordenada por la abscisa, obtenemos siempre el mismo número. Ese valor se llama constante de proporcionalidad, y se escribe habitualmente k.
Funciones de proporcionalidad inversa:
Si en todos los pares de valores de una función de proporcionalidad inversa multiplicamos la ordenada por la abscisa, obtenemos siempre el mismo número, que es la constante de proporcionalidad, y habitualmente se escribe k.

un video de como ubicar un plano cartesiano
http://www.youtube.com/watch?v=v1_fJoy8oZU

Explicación de regla de tres simple (proporcionalidades)
http://www.youtube.com/watch?v=APSo5G1z6oQ&list=PLFCAB0A68C828CC99

Explicación de notación científica
http://www.youtube.com/watch?v=Y73wH8J9grU&list=PLFCAB0A68C828CC99

EL PLANO CARTESIANO.

Funciones lineales:
Esta clase de funciones tienen dos características esenciales:

Las variaciones entre dos valores de la variable independiente y la de sus correspondientes de la variable dependiente son uniformes.
Todos los puntos de su gráfica están alineados.

Conceptos básicos

Función: una función entre dos conjuntos numéricos es una correspondencia tal que no hay ningún número que tenga más de una imagen.

Dominio de una función o campo de existencia: es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a x ( variable independiente) forman el conjunto original. Gráficamente lo miramos en el eje OX de abscisas, leyendo como escribimos de izquierda a derecha.

Recorrido o rango de una función: es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "y" variable dependiente, por eso se denomina f(x), su valor depende del valor que le demos a "x". Gráficamente lo miramos en el eje OY de ordenadas, leyendo de abajo a arriba.

Cálculo del dominio y recorrido de funciones

Vamos a calcular de forma numérica y gráfica el dominio y recorrido (conjunto imagen) de funciones polinómicas, racionales, irracionales y logarítmicas.

Dominio y recorrido de funciones polinómicas

Dominio
El dominio de una función polinómica son todos los números reales. Se expresa como Dom f(x)= ℜ.
No tenemos que calcular nada.

La función existe desde x = - ∞ hasta x = + ∞.
El dominio también se puede expresar así: Dom f(x)= (- ∞, + ∞)

Son funciones polinómicas las rectas, las funciones cuadráticas (parábolas) y las funciones polinómicas de grado superior.

Ejemplos

Dominios funciones

Dominio y recorrido de funciones racionales

Dominio
El valor del logaritmo debe ser > 0.
No existen los logaritmos de los números negativos ni el de cero.
Se resuelven igual que las irracionales pero en vez de usar ≥ 0 usaremos > 0

Ejemplos
Dominio función logarítmica

Ejercicios
Calcular los dominios de las siguientes funciones:

f(x) = |x| − 1

Proposición.
Una expresión que deba ser verdadera o falsa pero que no pueda ser ambas, la llamaremos una proposición.

Proposiciones abiertas.

Existen algunas afirmaciones de las cuales no podemos decir inicialmente si son falsas o verdaderas por intervenir en ellas una variable; se les llaman proposiciones abiertas, son expresiones que contienen una variable y que al ser sustituidas dicha variable por un valor determinado, hace que la expresión se convierta en una proposición, pero sin alterar el orden.

Dominio de la variable.

El conjunto que consiste de los elementos que pueden reemplazar a la variable de una proposición abierta, lo llamaremos el Dominio de la variable. El conjunto formado por aquellos elementos del dominio de la variable que hacen verdadera la proposición abierta p(x), lo llamaremos el conjunto solución de la proposición abierta p(x).

Proposición conjuntiva.

A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo conjunción ( $\and$ ), la llamaremos proposición conjuntiva; p $\and$ q, teniendo un valor de verdad verdadero, sólo cuando ambas componentes sean verdaderas, es decir, si al menos una de las componentes es falsa, entonces la proposición p $\and$ q es falsa.

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, entonces definiremos el conjunto A intersección B, que anotaremos por A ∩ B al conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al B, o sea, los elementos que tienen en común:
A ∩ B = { x / x ∈ A $\and$ x ∈ B }
Si P es el conjunto solución de la proposición p(x) y Q el de la proposición q(x), entonces el conjunto solución de p(x) ( $\and$ ) q(x) es P ∩ Q.
El conjunto vacío que anotaremos Ø es el conjunto que no tiene elementos.
Pudiéndose anotar: Ø = { x / x ∈ A $\and$ x ∉ A }

Proposición disyuntiva.

Para indicar que dos proposiciones están conectadas con la letra "o" se utiliza el símbolo $\or$ , llamado conectivo disyuntivo. A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo disyunción ( $\or$ ), la llamaremos proposición disyuntiva p $\or$ q. p $\or$ q tendrá un valor de verdad falso sólo cuando ambas componentes sean falsas, es decir, si al menos una de las componentes es verdadera, entonces p $\or$ q es verdadera.
Sean A y B dos conjuntos, entonces definimos el conjunto A unión B, que anotaremos por A ∪ B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. A ∪ B = { x / x ∈ A $\or$ x ∈ B }
Un elemento del resultado puede pertenecer a uno solo de los dos conjuntos o a los dos conjuntos dados, pero en este caso dicho elemento se considera una sola vez. Si P es el conjunto solución de la proposición p(x) y Q el de la proposición q(x), entonces el conjunto solución de p(x) $\or$ q(x) es P ∪ Q.

Implicación o Condicional.

Para indicar que dos proposiciones están conectadas, la primera implicando la segunda se utiliza el símbolo $\Rightarrow$ , llamado conectivo condicional, la primera proposición es llamada antecedente o hipótesis y la segunda es consecuente o conclusión. A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo condicional, le llamaremos proposición condicional. p $\Rightarrow$ q tendrá un valor de verdad falso solamente cuando el antecedente (p) es verdadero y el consecuente (q) es falso; en los demás casos diremos que p $\Rightarrow$ q es verdadero.

Bicondicional, doble implicación.

A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo bicondicional ( $\Leftrightarrow$ ), la llamaremos proposición bicondicional.
Recordemos que p $\Leftrightarrow$ q significa ( p $\Rightarrow$ q ) $\and$ ( q $\Rightarrow$ p ) Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces p $\Leftrightarrow$ q es verdadera.
Y si p y q tienen valor de verdad opuestos, entonces p $\Leftrightarrow$ q es falsa.
La proposición $\forall \,$ x, p(x) $\Leftrightarrow$ q(x) es verdadera si y solo si P ⊂ Q y Q ⊂ P

Conectiva lógica.

En lógica, una conectiva lógica, o simplemente conectiva, es un símbolo que se utiliza para conectar dos fórmulas bien formadas (atómicas o moleculares), de modo que el valor de verdad de la fórmula compuesta depende del valor de verdad de las fórmulas componentes.
En programación se utilizan para combinar valores de verdad y obtener nuevos valores que determinen el flujo de control de un algoritmo o programa.

Las conectivas lógicas son, junto con los cuantificadores, las principales constantes lógicas de muchos sistemas lógicos, principalmente la lógica proposicional y la lógica de predicados.

Conectivas.

Las conectivas son funciones de verdad. Quiere decir que son funciones que toman uno o dos valores de verdad, y devuelven un único valor de verdad. En consecuencia, cada conectiva lógica puede ser definida mediante una tabla de valores de verdad que indique qué valor devuelve la conectiva para cada combinación de valores de verdad. A continuación hay una tabla con las conectivas más usuales y su definición mediante tablas de verdad:

Conectiva	Notación	Ejemplo de uso	Análogo natural	Ejemplo de uso en el lenguaje natural	Tabla de verdad
Negación	$\neg,\sim \,$	$\neg p \,$	no	No está lloviendo.	$\begin{array}{c\|c} \phi & \neg \phi \\ \hline 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}$
Conjunción	$\and,\And, \cdot \,$	$p \and q \,$	y	Está lloviendo y la calle está mojada.	$\begin{array}{c\|c\|c} \phi & \psi & \phi \and \psi \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}$
Disyunción	$\or \,$	$p \or q \,$	o	Está lloviendo o la calle está mojada.	$\begin{array}{c\|c\|c} \phi & \psi & \phi \or \psi \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}$
Condicional material	$\to,\supset$	$p \to q \,$	si... entonces	Si está lloviendo, entonces la calle está mojada.	$\begin{array}{c\|c\|c} \phi & \psi & \phi \to \psi \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}$
Bicondicional	$\leftrightarrow, \equiv \,$	$p \leftrightarrow q \,$	si y sólo si	Está lloviendo si y sólo si la calle está mojada.	$\begin{array}{c\|c\|c} \phi & \psi & \phi \leftrightarrow \psi \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}$
Negación conjunta	$\downarrow \,$	$p \downarrow q \,$	ni... ni	Ni está lloviendo ni la calle está mojada.	$\begin{array}{c\|c\|c} \phi & \psi & \phi \downarrow \psi \\ \hline 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}$
Disyunción excluyente	$\nleftrightarrow, \oplus, \not\equiv, W , \underline{\vee}$	$p \nleftrightarrow q \,$	o bien... o bien	O bien está lloviendo, o bien la calle está mojada.	$\begin{array}{c\|c\|c} \phi & \psi & \phi \nleftrightarrow \psi \\ \hline 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}$

Las conectivas por la tabla de verdad.

Dado que las conectivas son funciones de verdad, existirán tantas conectivas como funciones de verdad. Sin embargo, no todas las funciones de verdad tienen análogos en el lenguaje natural, y en consecuencia, no todas son estudiadas con el mismo interés. A continuación se incluye una tabla que lista las 16 conectivas binarias posibles.

$\begin{array}{|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline \phi & \psi & \top & \or & \leftarrow & \phi & \to & \psi & \leftrightarrow & \and & \uparrow & \nleftrightarrow & \neg \psi & \nrightarrow & \neg \phi & \nleftarrow & \downarrow & \bot \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$

Donde:

1.	$\top$	Tautología
2.	$\phi\or\psi$	Disyunción lógica
3.	$\phi\leftarrow\psi$	Condicional material inverso
4.	$\phi$	Proposición
5.	$\phi\to\psi$	Condicional material
6.	$\psi$	Proposición
7.	$\phi\leftrightarrow\psi$	Bicondicional
8.	$\phi\and\psi$	Conjunción lógica
9.	$\phi\uparrow\psi$	Negación alternativa
10.	$\phi\nleftrightarrow\psi$	Disyunción exclusiva
11.	$\neg\psi$	Negación lógica
12.	$\phi\nrightarrow\psi$	Negación del condicional material
13.	$\neg\phi$	Negación lógica
14.	$\phi\nleftarrow\psi$	Negación del condicional inverso
15.	$\phi\downarrow\psi$	Negación conjunta
16.	$\bot$	Contradicción

Conectivas por el número de argumentos.

Si vemos las distintas conectivas por su número de argumentos podemos distinguir:

Sin argumentos

Artículo principal: Operación nularia

Las conectivas lógicas sin argumentos son:

Positiva	Negativa
$\top$ Tautología	$\bot$ Contradicción

Con un argumento

Artículo principal: Operación unaria

Las conectivas con solo un argumento son:

Positiva	Negativa
$\phi$ Proposición	$\neg\phi$ Negación lógica

Con dos argumentos

Artículo principal: Operación binaria

Las conectivas que necesitan dos argumentos son:

Positiva	Negativa
$\phi\or\psi$ Disyunción lógica	$\phi\downarrow\psi$ Negación conjunta
$\phi\and\psi$ Conjunción lógica	$\phi\uparrow\psi$ Negación alternativa
$\phi\Rightarrow\psi$ Condicional material	$\phi\nRightarrow\psi$ Negación del condicional material
$\phi\Leftarrow\psi$ Condicional material inverso	$\phi\nLeftarrow\psi$ Negación del condicional inverso
$\phi\Leftrightarrow\psi$ Bicondicional	$\phi\nLeftrightarrow\psi$ Disyunción exclusiva

Determinación de Conjuntos.

Determinación de Conjuntos :
Un conjunto se puede determinar de dos maneras: Por extensión y por comprensión.
Determinación de un Conjunto por Extensión
Un conjunto está determinado por extensión cuando se escriben uno a uno todos sus elementos.
Ejm. - El conjunto de los números naturales menores que 9.
A=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Determinación de un Conjunto por Comprensión
Un conjunto está determinado por comprensión cuando solamente se mensiona una característica común de todos los elementos.
Ejm. - El conjunto formado por las letras vocales del abecedario.
B=[x/x es una vocal]

Conjuntos, pertenencia y contenencia.

Conjunto: un conjunto es un grupo de objetos que tienen algo en común, se pueden representar mediante una línea cerrada llamada diagrama de venn o con la escritura de sus elementos entre llaves.

Representación de conjuntos.
Son las formas matemáticas en las que se pueden expresar los conjuntos para su estudio u análisis.
Nota: los conjuntos se nombran con una letra mayúscula.

Determinación de conjuntos. Un conjunto se puede determinar de dos formas:

Relación de pertenencia.

La relación de pertenencia se presenta entre un elemento y un conjunto. Cuando un elemento cumple con la característica de un conjunto se dice que pertenece al conjunto. El símbolo que indica pertenecía se escribe ∈.

Si un elemento no pertenece al conjunto se escribe el símbolo ∉.

operaciones de conjuntos.

ACTIVIDADES DE APLICACIÓN.

1. Escribe los elementos de cada conjunto por extensión y comprensión.

2. Observa los siguientes diagramas y escribe ∈ o ∉ según el caso.

3. escribe ∈ o ∉ teniendo en cuenta los siguientes conjuntos.

Definición de intervalo
Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.

Intervalo abierto

Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

(a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo cerrado

Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda

Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.
[a, b) = {x / a ≤ x < b}
recta

definición de Unificación.

La unificación es un proceso que permite, mediante la sustitución de variables por términos, obtener, a partir de un par de fórmulas, una tercera que será verdadera siempre que cualquiera de las primeras lo sea. Esta característica hace de la unificación una herramienta muy útil en la demostración formal de teoremas. Veamos los fundamentos necesarios para poder llevar a cabo este proceso.

Unificación

Cuando se tienen sentencias compuestas por predicados y conectivos lógicos, se debe evaluar la veracidad de cada uno de sus componentes para determinar si toda la sentencia es verdadera o falsa. Para ello, se busca en el conjunto de axiomas la forma de establecer la veracidad de los predicados componentes. Un predicado componente se dice que es verdadero si se identifica con un axioma de la base de información. En la lógica de predicados, este proceso es algo complicado ya que las sentencias pueden tener términos variables. A los predicados que tienen variables por argumentos, se los denomina patrones.
La unificación es el proceso de computar las sustituciones apropiadas que permitan determinar si dos expresiones lógicas, ya sean predicados o patrones, coinciden.
El proceso de unificación involucra los siguientes pasos:

Todo predicado que no contenga variables en sus argumentos, deben tener un axioma que se identifique totalmente, para considerarlo como verdadero.
Si un predicado contiene una variable, esta debe ser asociada a un valor determinado. Esta asociación se realiza buscando en la base de axiomas y seleccionando todos aquellos que se identifican con el patrón en todo, excepto por la variable. La variable es asociada con el valor en la posición correspondiente del axioma. Si más de un axioma se identifica con el predicado dado, todos los valores asociados son considerados y son tratados separadamente.
El proceso de identificación continua asumiendo que el valor de la variable es el valor asociado, en cualquier lugar que esta aparezca.
Los conectivos lógicos son aplicados a todos los predicados, para determinar la veracidad de la sentencia dada.

Inferencia y Razonamiento
Inferir es concluir o decidir a partir de algo conocido o asumido; llegar a una conclusión. A su vez, razonar es pensar coherente y lógicamente; establecer inferencias o conclusiones a partir de hechos conocidos o asumidos.
El proceso de razonamiento, por lo tanto, involucra la realización de inferencias, a partir de hechos conocidos. Realizar inferencias significa derivar nuevos hechos a partir de un conjunto de hechos conocidos como verdaderos. La lógica de predicados proporciona un grupo de reglas sólidas, con las cuales se pueden realizar inferencias. Las principales Reglas de Inferencia son:

Modus ponens.- Es la más importante, en los sistemas basados en conocimiento. Establece que:

Si las sentencias p y (p ® q) se conocen que son verdaderas,

entonces se puede inferir que q también es verdadera.

Modus tolens.- Esta regla establece que:

Si la sentencia (p ® q) es verdadera y q es falsa,

entonces se puede inferir que p también es falsa.

Resolución.- Utiliza refutación para comprobar una determinada sentencia. La refutación intenta crear una contradicción con la negación de la sentencia original, demostrando, por lo tanto, que la sentencia original es verdadera. La resolución es una técnica poderosa para probar teoremas en lógica y constituye la técnica básica de inferencia en PROLOG, un lenguaje que manipula en forma computacional la lógica de predicados. La regla de resolución, establece que:

Si (AÚ B) es verdadero y (~B Ú C) es verdadero,

entonces (A Ú C) también es verdadero.

Complemento de un conjunto

El complemento o el conjunto complementario de un conjunto dado es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo, si se habla de números naturales, el complementario del conjunto de los números primos

P

es el conjunto de los números no primos

C

, que está formado por los números compuestos y el 1:

$\mathbf{P} = \{ 2, 3, 5, 7, \ldots \}$
$C = \{ 1, 4, 6, 8, 9, \ldots \}$

A su vez, el conjunto

C

es el complementario de

P

. El conjunto complementario se denota por una barra vertical o por el superíndice «

∁

», por lo que se tiene:

P ∁ = C

, y también

C = P

.
El conjunto complementario de

A

es la diferencia (o complementario relativo) entre el conjunto universal y

A

, por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares.

Definición

Dado un conjunto

A

, su complementario es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a

A

El complementario de $A$ es otro conjunto $A ∁$ cuyos elementos son todos aquellos que no están en $A$ :

$x\in A^\complement \text{ si y s}\acute{\text{o}}\text{lo si }x\notin A$

Esta definición presupone que se ha especificado un conjunto universal

U

, pues de otro modo, en la afirmación «todos los

x

que no están en

A

», la palabra «todos» es ambigua. Si se menciona explícitamente el conjunto universal

U

, entonces el complementario de

A

es el conjunto de todos los elementos de

U

que no están en

A

, por lo que la relación con la diferencia es clara:

$A^\complement =U\setminus A$

Por otro lado, considerando un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos puede expresarse utilizando la noción de complementariedad:

$A\setminus B=A\cap B^\complement$

Ejemplo.

El complementario del conjunto de todos los hombres es el conjunto de todas las mujeres (hablando de personas).

Hablando de números naturales, el complementario del conjunto

{1, 5, 6, 7, 8, 10}

es el conjunto

{2, 3, 4, 9, 11, 12, ...}

El complementario del conjunto

A

en la imagen es la zona sombreada de azul (el conjunto universal

U

es toda el área del rectángulo).

Propiedades

Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración, y el conjunto vacío no contiene a ninguno, se tiene lo siguiente:

$U^\complement=\varnothing\text{ , }\varnothing^\complement=U$

Puesto que la noción de complementariedad está relacionada con la negación en lógica, la primera posee propiedades similares a la segunda:

Propiedad involutiva. El complementario del complementario de $A$ es el propio $A$ :

$(A^\complement)^\complement = A$

La unión de un conjunto y su complementario es el conjunto universal:

$A \cup A^\complement = U$

Un conjunto y su complementario son disjuntos:

$A \cap A^\complement = \varnothing$

El complementario de $A$ está contenido en el complementario de cualquier subconjunto de $A$ :

$B \subseteq A \rightarrow A^\complement \subseteq B^\complement$

Existen también unas relaciones entre las operaciones de unión e intersección a través del complemento:

Leyes de De Morgan

El complementario de la unión de dos conjuntos es la intersección de los complementarios:

$(A \cup B)^\complement = A^\complement \cap B^\complement$

El complementario de la intersección de dos conjuntos es la unión de los complementarios:

$(A \cap B)^\complement = A^\complement \cup B^\complement$

Diferencial de una función

Si f(x) es una función derivable, la diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h.

La diferencial de una función se representa por dy.

Interpretación geométrica

La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable.

Ejemplos

Aplicamos la definición de logaritmo:

Un cuadrado tiene 2 m de lado. determínese en cuánto aumenta el área del cuadrado cuando su lado lo hace en un milímetro. Calcúlese el error que se comete al usar diferenciales en lugar de incrementos.

Hallar la variación de volumen que experimenta un cubo, de arista 20 cm, cuando ésta aumenta 0.2 cm su longitud.

Calcula el error absoluto y relativo cometido en el cálculo del volumen de una esfera de 12.51 mm de diámetro, medido con un instrumento que aprecia milésimas de centímetro.

Si el lugar de

se halla

. ¿Cuáles son las aproximaciones del error absoluto y relativo?

Inecuación

En matemática, una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad.^[1] ^[2] Si la desigualdad es del tipo $<$ o $>$ se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo $\le$ o $\ge$ se denomina inecuación en sentido amplio.^[3]
Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales.^[4] Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

Ejemplo de inecuación incondicional: $|x| \le |x|+|y|$ .

Ejemplo de inecuación condicional: $-2x+7<2$ .

Suponemos que ya conocemos los símbolos “>” (mayor que), “<” (menor que), “≥” (mayor o igual que) y “≤” (menor o igual que) que usamos para relacionar un número con otro.

Escribimos, por ejemplo, 4 >–1 para señalar que 4 es mayor que –1. También podemos escribir –2 < 3 para señalar que –2 es menor que 3.

Ejemplos como estos se conocen como desigualdades.

Sabido esto, diremos que una inecuación es el enunciado de una desigualdad que incluye alguna de las siguientes relaciones de orden: “mayor que”(>); “menor que” (<); “mayor o igual que” (≥), y “menor o igual que” (≤). En la desigualdad aparece al menos una incógnita o valor desconocido y que se cumple para ciertos valores de ella.

Si el grado de la inecuación es uno (de primer grado), se dice que la inecuación es lineal.

Esto porque al escribir las desigualdades usamos números y por esto mismo es que podemos usar la recta numérica para visualizar o graficar dichas desigualdades.

Observa que en la recta de arriba:

4 > –1, porque 4 está a la derecha de –1 en la recta numérica.

–2 < 3, porque –2 está a la izquierda de 3 en la recta numérica

–3 < –1, porque -3 está a la izquierda de –1 en la recta numérica

0 > –4, porque 0 está a la derecha de –4 en la recta numérica

Una inecuación lineal, entonces, es una expresión matemática que describe cómo se relacionan entre sí dos expresiones lineales.

Por ejemplo: 3 + 5x ≥ 18; y otro, –2(x + 3) < –9.

Como resolver una inecuación

Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales, por ello es que se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinitos números reales.

Las reglas para la resolución de una inecuación son prácticamente las mismas que se emplean para la resolución de ecuaciones, pero deben tenerse presentes las propiedades de las desigualdades.

Como ya dijimos, se puede ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica, utilizando la recta numérica y marcando el intervalo entre los números que dan solución a la desigualdad. Si la solución incluye algún extremo definido del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo en blanco.

Ejemplo: x > 7 (equis es mayor que 7)

Los valores mayores a 7 se representan a la derecha de la recta numérica y no incluyen al 7. En intervalo desde el punto blanco hacia el infinito a la derecha se escribe:

Ejemplo: x ≥ 7 (equis es mayor o igual a 7)

Los valores mayores e iguales a 7 se representan a la derecha de la recta numérica e incluyen al 7. El intervalo desde el punto negro hacia el infinito a la derecha se escribe:

Nótese la postura del corchete cuando incluye y cuando no incluye una cifra determinada dentro del intervalo.

Resolución de inecuaciones lineales (de primer grado) con una incógnita

Veamos algunos ejemplos:

Resolver la inecuación 4x - 3 > 53 (Se lee: cuatro equis menos tres es mayor que 53)

Debemos colocar las letras a un lado y los números al otro lado de la desigualdad (en este caso, mayor que >), entonces para llevar el –3 al otro lado de la desigualdad, le aplicamos el operador inverso (el inverso de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).

Tendremos: 4x − 3 + 3 > 53 + 3

4x > 53 +3

4x > 56

Ahora tenemos el número 4 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la desigualdad dividiendo (la operación inversa de la multiplicación es la división).

Tendremos ahora: x > 56 ÷ 4

x > 14

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" serán todos los números mayores que 14, no incluyendo al 14.

Gráficamente, esta solución la representamos así:

Esto significa que en la recta numérica, desde el número 14 (sin incluirlo) hacia la derecha todos los valores (hasta el infinito + ∞) resuelven la inecuación.

Ver: PSU: Matemática,

Veamos el siguiente ejemplo: –11x -5x +1 < –65x +36

Llevamos los términos semejantes a un lado de la desigualdad y los términos independientes al otro lado de la desigualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario).

–11x –5x +65x < 36 –1

Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente

49x < 35

Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.

Casos Especiales

Cuando el lado de la incógnita queda con signo negativo (–), se debe realizar un arreglo para eliminar ese signo negativo, ya que la incógnita nunca debe quedar con valor negativo.

Veamos el siguiente ejemplo:

2x –[x –(x –50)] < x – (800 –3x)

Primero quitamos los paréntesis:

2x –[x –x +50] < x –800 +3x

Reducimos términos semejantes.

2x –[50] < 4x –800

Ahora quitamos los corchetes

2x –50 < 4x –800

Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.

2x –4x < –800 +50

Nuevamente reducimos términos semejantes y llegamos a

–2x < –750

Pero sabemos que no puede quedar signo negativo en la parte de la incógnita, entonces cambiamos de signo a todo (–2x queda 2x y –750 queda 750), y además cambiamos el sentido de la desigualdad (< lo cambiamos por >).

2x > 750

Despejamos x pasando al 2 a dividir, luego simplificamos.

Resolución de Problemas

No es muy común encontrar problemas con inecuaciones, pero de todas formas, si nos encontramos frente a este caso, debemos plantearlo en lenguaje matemático y luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos conocer).

Veamos un problema sencillo como ejemplo:

Dentro de cinco años, Ximena tendrá no menos de 18 años. ¿Qué edad tiene actualmente Ximena?

Tenemos entonces:

x edad de Ximena

x + 5 edad de Ximena en 5 años

Sabemos que la edad de Ximena en cinco años será mayor que 18 años (Dentro de cinco años, Ximena tendrá no menos de 18 años).

x + 5 > 18

Resolvemos la inecuación:

x + 5 > 18

x > 18 -5

x > 13

Entonces podemos afirmar que Ximena actualmente tiene más de 13 años, pero no podemos determinar exactamente su edad.

Dos ejemplos de inecuaciones representando la solución en la recta numérica e indicando el intervalo en el cual se ubica ésta:

X pertenece al intervalo que va entre el menos infinito y el menos un sexto incluido.

X pertenece al intervalo que va entre la fracción incluida y el infinito hacia la derecha.

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